Systèmes Mono Variables Ordre 2

Un système mono variable est décrit en fonction de son état, dépendant de son unique entrées « u » et de son unique  sortie « y » mais aussi en fonction de son comportement dynamique interne.

Le plus petit ensemble, de « 2 »  variables d’état {x₁, x₂}, à un instant t>0 (système causal), définit l’état du système (connu aussi pour T₀=0). C’est un ordre « 2 »

Cet ensemble de « 2 »  variables d’état {x₁, x₂} défini le vecteur d’état x(x₁, x₂)^T, qui évolue dans un espace d’état, ce qui en constitue une modélisation.

Un système de 1 variable de sorties avec « 2 » variables d’état possède un modèle mathématique basé sur un système de 1 équations différentielles de degré « 2 »:

L'équation différentielle peut être écrite de manière à mettre en évidence des paramètres physiques, tels que la pulsation propre «  ω₀ » et le facteur de qualité « Q »:

L'équation différentielle peut être écrite de manière à mettre en évidence des paramètres physiques, tels que résistance « R », inductance «  L » et capacité « C »:

L'équation différentielle peut être écrite de manière à mettre en évidence des paramètres physiques, tels que masse « m », pulsation «  ω₀ » et constante « K »:

Le système d'équations peut s'écrire sous forme matricielle: A.Y = B.U

Un modèle d’état, d’entrée « u » et de sortie « y », avec un état « x », linéaire et invariant (stationnaire), est représenté par un système à 2 équations ou des termes « A », « B », « C » et « D » sont des matrices d’état (A_nn), de commande (B_nm), de sortie (C_pn) et de transmission (D_pm).

L’état du système est un résumé exhaustif du passé, et connaissant un temps initial (t_i) on peut calculer l’état à un temps final (t_f) grâce à l’intégration de l’équation d’état :

La représentation synoptique du modèle d’état est alors le schéma bloc suivant :