MAINT-FAIL: Défaillances

Le passage de l'état de FONCTIONNEMENT à l'état de PANNE constitue une transition appelée DEFAILLANCE. Plusieurs définitions ou synonymes selon la norme AFNOR X 60-011:

Il existe assi des synonymes (non normalisés), comme « faillures » (pour dommages, dégâts, anomalies,avaries, incidents, défauts, pannes) utilisés dans divers métiers.

Pour suivre cette défaillance, on mesure la disponibilité (D%), inverse du taux de défaillance (λ) . Elle varie de 0% (en cas de panne) à 100% (en fonctionnement), mais fluctue dans le temps:

   • jeunesse: taux de défaillance (λ) élevé, puis décroissant.
   • vie utile: taux de défaillance (λ) stable.
   • vieillesse: taux de défaillance (λ) croissant pour redevenir élevé.

La courbe de disponibilité globale est la somme des disponibilités pendant ces 3 périodes: elle présente une allure en forme dite de « baignoire ».

Comme pour la vie humaine, la disponibilité est de 100% au début, puis décroit pendant une période de jeunesse pour se stabiliser pendant la vie utile. Ensuite, la vieillesse intervient avec des défaillances de plus en plus nombres.

Une modélisation mathématique est possible avec la fonction EXPONENTIELLE de variable (t) et de paramètre (MTBF), avec modulation d'amplitude (K), soit une courbe d'équation K . e^{( t / MTBF)}, différentes allures reconnaissables suivants les valeurs des paramètres:

Avec un bon paramètrage, on retrouve effectivement une courbe globale de type « baignoire », par exemple:

   • Temps: de T₀ = 0 à T₁₀₀ = 100
   • MTBF: croissance à -10 (donc -10%), décroissance à +10 (donc +10%), stabilité à +1.000 (donc x10)
   • amplitude: croissance à 0,01 décroissance à 100, stabilité croissance: 25.

La probabilité de défaillance (avant un temps t) utilise une loi géométrique et une loi exponentielle ou µ représente le temps moyen de fonctionnement avant une panne (MTTF), le taux de défaillance étant l’inverse (λ = 1/µ). Ce taux moyen de défaillance λ, probabilité de défaillance par unité de temps, est supposé constant.

La fonction de répartition de la probabilité d’une défaillance dans les k premières années, part du principe que la probabilité conditionnelle d'une panne dans l’année k+1 (avec un fonctionnement de k années), sera la même que la probabilité d’une défaillance dans l’année k (avec un fonctionnement de k-1 années), processus sans mémoire.

La probabilité de défaillance (par année) est p = λ et la probabilité de non panne (par année) est q = 1 - λ, et la  probabilité d’une première défaillance dans l’année k est P(X=k).

La variable X suit une loi géométrique où X représente le « nombre d’épreuves de Bernoulli », indépendantes de probabilité de panne nécessaire pour obtenir la première défaillance. La probabilité d’avoir une première panne durant la k_ième année est P_(X=k) = (1 - p)^k-1p  avec λ=p, soit: P_(X=k) = (1 - λ)^k-1λ

La probabilité de défaillance des k premières années est:  P_{(X ≤ k)} = P_(X=1) + P_(X=2) + ... + P_(X=K).

Soit:  P_{(X ≤ k)} =   λ   +   (1 - λ) . λ   +   ...   +   (1 - λ) . (k-1) . λ

C'est une suite arithmétique de raison (1 - λ) et de premier terme 1: P_{(X ≤ k)} = 1 - (1 - λ)^k

Avec un changement de variable en T=X/n, la probabilité P_(T<t) est un calcul de limite lorsque n tends vers l'infini ...

Ce calcul de limite permet de déduire: P_(T<t) ≈ 1 - (e^-λ)^t

C'est l'expression classique de la probabilité d'avoir une défaillance sur l'intervalle de temps [0,t], la probabilité de ne pas avoir de défaillance étant le complément, soit: (e^-λ)^t

   • D%_TOT =  ∏_iⁿ  D%_i

Dans un montage parralléle, pour que le système fonctionne il faut qu'au moins un constituant fonctionnent, le taux de fonctionnement total (1 - D%_TOT) est le produit des taux de fonctionnements unitaires (1 - D%_i):
   • (1 - D%_TOT) =  ∏_iⁿ  (1 - D%_i)

Pour augmenter la Sécurité de Fonctionnement (SF) on utilise des chaines en parrallèle pour assurer une même fonction. 

Rappelons que toutes ces analyses reposent sur des calculs de probabilités ...