Transformation en Z

En mathématiques, la Transformation en Z est une transformation de suites, associant à une suite s(n) (sur les entiers positifs n) une nouvelle fonction S(z) dite Transformée en Z (sur les complexes z):

Les propriétés de la Transformation en Z seront utilisées pour résoudre des équations linéaires (en z) issues d'équations différentielles (en t):

A partir de la définition de la transformation, et des propriétés associées, les transformées de multiples fonctions ont été établies, formant ainsi des bibliothèque utiles dans divers domaines:

  • Equations différentielles: en remplaçant la dérivée par une multiplication par "z", et l'intégrale par une division par "z", les équations deviennent simplement algébriques.

  • Signaux retardés: un décalage temporel de k échantillons, se transforme en une multiplication z^-k.

  • Réponses aux signaux "test": un signal "échelon unitaire" à pour expression (1/s) et le signal "Pic de Dirac" vaut simplement 1.

  • Amortissements: un signal amorti comprends en général  une  expression du type e^-kt. La transformée de cet amortissement est simplement un décalage en (s+k).

  • Echelles de temps: un changement d'échelle de temps, soit une fonction f(t/τ), se traduit par la transformation τ.F(τs).

Aprés résolution dans l'espace de Laplace, les fonctions solutions doivent être retransformées pour avoir leurs expressions dans l'espace temporel initial:

En général, les résolution des équations simplifiées dans le domaine de LAPLACE, donnent des pôles et des zéros ayant des formes remarquables:

  • Poles: valeurs pour lesquelles la fonction  tends vers l'infini.

  • Zéros: valeurs pour lesquelles la fonction s'annule.

 • Méthode des résidus: en général, la fonction symbolique F(s) peut s'écrire sous la forme du quotient d'un numérateur N(s) par un dénominateur D(s), soit F(s)=N(s)/D(s).

Connaissant l'ensemble des "n" poles "p", on peut arriver à l'écrire sous la forme d'une somme de terme du type A_n / (s_n+p_n). Les fonctions inverses sont alors retrouvées grace à des bibliothéques.

A noter que les pôles peuvent être distincts, multiples ou complexes conjugués. Une méthode de calcul existe pour chacun de ces cas.

Il existe aussi des méthode de calcul informatique par logiciel spécifique (MATHLAB par exemple).

Pour résumer, certains signaux sont fréquemment utilisés dans divers domaines de la physique, les modélisations mathématiques des phénomènes réels aboutissant à des équations différentielle similaires :

  • Electricité: condensateurs et bobines d'induction.
  • Automatique: fonctions de transfert, réponses aux signaux test (Dirac, échelon, rampe, ...).

  • Mécanique classique: oscillations, amortissements ...
  • Thermodynamique: mécanique des fluide, chaleur, ...