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Schéma électrique

Le circuit est composé d'une résistance (R) et d'un condensateur (C). Les dipoles sont montés pont diviseur de tension:

• Entrée: Ve
• Sortie: Vs = ZR / (ZR + ZC) . Ve 

La tension est égale à la somme des tension, alors que les courants sont tous identiques.

Impédance équivalente

L'impédance de la transmittance (T) est issue directement de l'expression du pont diviseur des tensions:
   • ZR = R
   • Zc = 1 / (j.C.ώ)
   • ZT = ZR / ( ZR + ZC )

Les expressions des calculs peuvent se simplifier en prenant en compte la pulsation propre (ώ0 = 1 / RC):
   • T = j.(RC.ώ) / [ 1 + j.(RC.ώ) ]
   • T = j.(ώ/ώ0) / [ 1 + j.(ώ/ώ0) ]
   • |T| = (ώ/ώ0) / √ [ 1 + (ώ/ώ0)² ]
   • Arg(T) = (π/2) - Arctan (ώ/ώ0)

Equation différencielle

La tension est égale à la somme des tension :
• uR = R . i(t)
• uC = ∑ (1/C . i(t) . dt), suite i(t) = C.duC/dt depuis q=C.uC avec i=q/t 

En définitive:
• u = [R . i]   +   [∑ (1/C . i . dt)]
• i = (C . duC / dt)
• u = [R . (C . duC / dt)]   +   [∑ (1/C . (C . duC / dt) . dt)]

Au final:
• u = [R.C . duC / dt]   +   [ uC]

C'est une équation différentielle du premier ordre à coéficients constants.

Analyse temporelle

La solution de l'équation différencielle est la somme de la solution de l’équation homogène (régime libre) et d’une solution particulière (régime établi):

• régime libre: u(t) = A . e(r.t) ( plusieurs solutions suivant les paramêtres R, C, f).
• régime établi: Ze(t) = E (réponse à un échelon).

Pour simplifier les résultats, on défini diverses expressions (variables réduites):
• pulsation propre: ώ0 = 1 / RC
• facteur de qualité: Q = 1 / (RC.ώ0).

Les solutions de l'équation différencielle sont alors:
• régime quelconque: Q = 100%
   → racines du polynome: r = -ώ0
   → constante: A = E
   → solution: u(t) =  A.e(r.t) + A

Analyse fréquencielle

La réponse (en régime permanent) à un signal sinusoidal de fréquence variable u(t), s'observe au niveau des tensions aux bornes du condensateur (uC) ou de la résistance (uR). En fait c'est chaque fois un quadripole de type pont diviseur de tension, de fonction de transfert H:
   • résistance: HR = (ZR / ZRC)
   • condensateur: HC = (ZC / ZRC)

Expressions remarquables:
   • variables réduites:
   → pulsation propre: ώ0 = RC
   → facteur de Qualité: Q = (1/RC) . ώ0
   → Pulsation de coupure (RC): ώC = 1/RC

Analyse aux bornes de la résistance (R):
   • fonction de transfert:
   → expression générale: HR = (R) / [ (R) + (jLώ) +  (1/jCώ) ]
   → expression réduite: HR = (j2m) / [1 + (j2m) . (ώ/ώ0) + (j.ώ/ώ0)²]
   → module: |HR| = 
   → argument: Arg(HR) = 

Analyse aux bornes du condensateur (C):
   • fonction de transfert:
   → expression générale: HR = (R) / [ (R)  +  (1/jCώ) ]
   → expression réduite: HR = (ώ/ώC) / [ 1 + j(ώ/ώC) ]
   → module: |HR| = (ώ/ώC) / √ (1 + (ώ/ώC)² )
   → argument: Arg(HR) = (π/2) - arctan(ώ/ώC) 
   → gain: GdB = 10. log[(ώRC)] - 10. log[1+(ώRC)²]

Analyse canonique:
   • fonction de transfert:
   → pulsation réduite: u = ώ/ώ0
   → expression réduite: Hju = Q.(u + (1/u) / [1 +  jQ.(u + (1/u)]
   → module: |Hju| = Q.(u-1/u) / √ (1 + Q².(u-1/u)² )
   → argument: Arg(Hju) = arctan[Q.(u-1/u)] 
   → gain: GdB = 10. log(u) - 10.log[u-(1/u)]

Caractéristiques:
   • Asymptotes:
   → Bande passante: 0dB après ώ0
   → Coupure: -3dB pour ώ0
   → Bande rejetée : -20dB/décade avant ώ0

Identification

Un système inconnu peut être identifié à partir de sa réponse à un signal test (comme l'échelon, par exemple):

• Constante de Temps: τ = RC
• Pulsation de coupure: ωc = 1 / RC
• Temps de réponse à 63%: T63% = RC
• Temps de montée à 95%: T95% = 3.RC
• Temps de montée à 100%: T100% < 5.RC
• facteur de qualité: Q = 1 / (RC.ώ0).

L'analyse des diagrammes de BODE compléte cette identification.