Circuit RLC (série)

Le circuit est composé d'une résistance (R_S), d'une inductance (L_S) et d'un condensateur (C_S). Les dipoles sont montés en série, et soumis à une tension u:

• Tensions: u = u_R + u_L + u_C
• Intensités: i = i_R = i_L = I_C

La tension est égale à la somme des tension, alors que les courants sont tous identiques.

• Z = R   +   j . L_.(2πf)   +   1 / [j.C_.(2πf))]
• Z = R   +   j . [ L.(2πf)   -   1 / C.(2πf) ]

Les expressions des calculs peuvent se simplifier en prennant en compte la pulsation (ώ=2πf) et des réactances inductives (X_L=L.ώ) et capacitives (X_C=1 / C.ώ):

• Z = R   +   j . [ L.ώ   -   1 / C.ώ) ]

• Z = R   +   j . [  X_L    -     X_C) ]
• |Z| = √ [ R² + (X_L - X_C)² ]
• tan(ɸ) = (X_L - X_C) / R

• u_R = R . i(t)

• u_L = L . di(t)/dt

• u_C = ∑ (1/C . i(t) . dt), suite i(t) = C.du_C/dt depuis q=C.u_C avec i=q/t 

En définitive:

• u = [R . i]   +   [L . di/dt]   +   [∑ (1/C . i . dt)]

• i = (C . du_C / dt)

• u = [R.C . du_C / dt]   +   [L . d(C . du_C / dt) / dt]   +   [∑ (1/C . (C . du_C / dt) . dt)]

Au final:

• u = [R.C . du_C / dt]   +   [L.C . ( d²u_C / dt²)]   +   [ u_C]

C'est une équation différencielle du second ordre à coéficients constants.

La solution de l'équation différencielle est la somme de la solution de l’équation homogène (régime libre) et d’une solution particulière (régime établi):

• régime libre: u(t) = A . e^(r.t) ( plusieurs solutions suivant les paramêtres R, L, C, f).

• régime établi: Ze(t) = E (réponse à un échelon).

Pour simplifier les résultats, on défini diverses expressions (variables réduites):

• pulsation propre: ώ₀ = 1 / √ (LC)
• facteur d'amortissement: λ = R / 2L.

• coefficient d'amortissement: α = λ / ώ₀.

• facteur de qualité: Q = 1 / 2α   =   L.ώ₀ / R   =   1 / RC.ώ₀.

Les solutions de l'équation différencielle sont alors:

• régime apériodique: Q < 50%

   → racines du polynome: r _1/2= -λ ± √ (λ² - ώ²₀)

   → solution: u(t) =  A₁.e^(r₁.t) + A₂.e^(r₂.t)

• régime critique: Q = 50%

   → racine du polynome: r = -λ = -ώ²₀

   → constante: A₁ = λ.E
   → constante: A₂ = E
   → solution: u(t) = (A₁.t + A₂).e^(r₂.t)

• régime pseudo-périodique: Q > 50%
   → racine du polynome: r_1/2 = -λ  ± jώ avec ώ=2π/T soit ώ=2π / [ώ₀.√ (1-α²)]
   → constante: A1 = E
   → constante: A2 = (λ/ώ).E
   → solution: u(t) = [A1.cos(ώt) + A2.sin(ώt)] . e^-λt

La réponse (en régime permanent) à un signal sinusoidal de fréquence variable u(t), s'observe au niveau des tensions aux bornes de la résistance (u_R), de l'inductance (u_L) et du condensateur (u_C). En fait c'est chaque fois un quadripole de type pont diviseur de tension, de fonction de transfert H: